문제는 다음과 같습니다.
수술 중 적혈구 손실 제어하기
<문제 상황>
인간의 몸에서 혈액의 적정량은 약 5L이다. 이 중 일정한 부분(적혈구 용적률이라 함)은 적혈구(RBCs)로 이루어져 있는데, 남성의 경우 적혈구 용적률은 약 45%이다. 한 남성 환자가 네 시간의 수술 중에 2.5L의 피를 흘린다고 하자. 수술하는 동안 환자의 혈액의 양은 식염수를 주입하여 5L를 유지하는데, 이 식염수는 혈액과 바로 섞이기는 하지만 혈액을 묽게 하여 시간이 지날수록 적혈구 용적률을 떨어뜨린다.
1. 적혈구 손실률이 적혈구의 양에 비례한다고 가정하고 수술이 끝날 때 환자의 적혈구의 양을 구하여라.
적혈구의 양 = y (단위 : L)이라 했을 때, 적혈구의 양을 시간에 대해 미분하면 적혈구의 손실률이 나온다.
적혈구의 손실률 = dy/dt
이는 적혈구의 유입률 – 적혈구의 유출률 로 나타낼 수 있다.
하지만 1번 문제에서는 수술중에 적혈구가 아예 없는 식염수를 넣어주기 때문에 유입률= 0 이다.
따라서 적혈구의 손실률은 적혈구의 유출률과 비례하는데,
적혈구의 유출률은 시간당 흘리는 피의 양 * 시간당 적혈구의 농도 로 나타낼 수 있다.
적혈구의 손실률 = dy/dt = -(2.5/4) * (y/5)
dy/dt를 구했으므로 이를 적분하여 y를 구해주어야 한다.
dy/dt = -(2.5/4)*(y/5)
dy/y = -dt/8
ʃ 1/y dy = ʃ -1/8 dt
ln(y) = -t/8 + C
y = e^(-t/8 + C)
이렇게 y를 구했다.
우리는 t = 0 일때 y = 2.25 라는 것을 안다. 이를 이용하여 적분상수로 나타내진 e^C 를 구해주면 2.25 = e^C 이다. 이를 정리하여 y를 나타내면
Y = 2.25 * e^(-t/8)
따라서, t = 4 일때 y의 값은 2.25 * e^(-1/2) ≒ 1.365이다.
2. 수술 중 적혈구 손실을 최소화하기 위하여 심각한 정상 혈량 혈액 희석(ANH)이라고 부르는 방법이 개발되었다. 이 방법은 환자를 수술하기 전에 혈액을 뽑아내고 식염수를 채운다. 그러면 환자의 혈액이 희석되어 피를 흘리더라도 적혈구 손실이 적게 된다. 뽑아낸 혈액은 수술 후에 환자의 몸속으로 넣는다. 그러나 일정량의 혈액만 뽑을 수 있다. 왜냐하면 수술 중에 적혈구의 농도는 25% 이하로 떨어져서는 안되기 때문이다. 이와 같은 방법으로 수술할 때 AHN 방법에서 뽑아낼 수 있는 최대 혈액량은 얼마인가?
초기 적혈구 값을 바꾸게 되면 위 식에서 C값만 바뀌고 k값은 일정하다.
4시간 후의 적혈구 값인 C*e^(-0.5)가 5L 중에 25% 이상 즉, 1.25이상이어야 한다.
(e^(-0.125t)는 감소 함수이므로 4시간 후의 적혈구 값이 수술 중에 가질 수 있는 최소값이기 때문에 이때만 25%이상이면 나머지 시간에서는 자연히 25% 이상이다.)
따라서, C*e^(-0.5)>1.25
C>1.25*e^(0.5)=2.06090158838이다.
따라서 초기 적혈구 값이 저거 이상이 되어야 하니까
처음에 뽑아낸 혈액량을 x라고 하면
2.25-x*0.45>2.06
0.19>0.45x
x<0.42222222
약 0.42L를 최대한으로 뽑아낼 수 있다.
3. AHN 방법을 쓰지 않았을 때 적혈구 손실은 얼마인가? 문제 2에서 계산된 혈액량으로 수술했을 때 적혈구 손실은 얼마인가?
AHN를 쓰지 않았다는 것은 문항 1 에서 제시된 바와 같이 수술을 했을 때 이다. 이때 적혈구 손실은 수술 전 적혈구양 – 수술 후 적혈구양 이기 때문에 이를 구해주면
수술 전 적혈구양 – 수술 후 적혈구양 = 2.25 – 1.365 = 0.885
즉 0.885L 만큼의 적혈구가 손실이 되었다.
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